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特征值

特征值的分解

方阵 A 的特征值特征向量分别为满足以下条件的标量 λ 和非零向量 υ

Aυ = λυ。

对于对角矩阵的对角线上的特征值 Λ 以及构成矩阵列的对应特征向量 V,公式为

AV = VΛ。

如果 V 是非奇异的,这将变为特征值分解。

A = VΛV–1

微分方程 dx/dt = Ax 的系数矩阵就是一个很好的示例:

A =
     0    -6    -1
     6     2   -16
    -5    20   -10

此方程的解用矩阵指数 x(t) = etAx(0) 表示。语句

lambda = eig(A)

生成包含 A 的特征值的列向量。对于该矩阵,这些特征值为复数:

lambda =
     -3.0710         
     -2.4645+17.6008i
     -2.4645-17.6008i

每个特征值的实部都为负数,因此随着 t 的增加,eλt 将会接近零。两个特征值 ±ω 的非零虚部为微分方程的解提供了振动分量 sin(ωt)。

使用这两个输出参量,eig 便可以计算特征向量并将特征值存储在对角矩阵中:

[V,D] = eig(A)
V =
  -0.8326         0.2003 - 0.1394i   0.2003 + 0.1394i
  -0.3553        -0.2110 - 0.6447i  -0.2110 + 0.6447i
  -0.4248        -0.6930            -0.6930          

D =
  -3.0710                 0                 0         
        0           -2.4645+17.6008i        0         
        0                 0           -2.4645-17.6008i

第一个特征向量为实数,另外两个向量互为共轭复数。所有三个向量都归一化为具有等于 1 的欧几里德长度 norm(v,2)

矩阵 V*D*inv(V)(可更简洁地写为 V*D/V)位于 A 的舍入误差界限内。inv(V)*A*VV\A*V 都在 D 的舍入误差界限内。

多重特征值

某些矩阵没有特征向量分解。这些矩阵是不可对角化的。例如:

A = [ 1    -2    1 
      0     1    4 
      0     0    3 ]

对于此矩阵

[V,D] = eig(A)

生成

V =

    1.0000    1.0000   -0.5571
         0    0.0000    0.7428
         0         0    0.3714


D =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     3

λ =1 时有一个双精度特征值。V 的第一列和第二列相同。对于此矩阵,并不存在一组完整的线性无关特征向量。

舒尔分解

许多高级矩阵计算不需要进行特征值分解。而是使用舒尔分解。

A = USU ′ ,

其中,U 是正交矩阵,S 是对角线上为 1×1 和 2×2 块的块上三角矩阵。特征值是通过 S 的对角元素和块显示的,而 U 的列提供了正交基,它的数值属性要远远优于一组特征向量。

例如,比较下面的亏损矩阵的特征值和舒尔分解:

A = [ 6    12    19 
     -9   -20   -33 
      4     9    15 ];

[V,D] = eig(A)
V =

  -0.4741 + 0.0000i  -0.4082 - 0.0000i  -0.4082 + 0.0000i
   0.8127 + 0.0000i   0.8165 + 0.0000i   0.8165 + 0.0000i
  -0.3386 + 0.0000i  -0.4082 + 0.0000i  -0.4082 - 0.0000i


D =

  -1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   1.0000 - 0.0000i
[U,S] = schur(A)
U =

   -0.4741    0.6648    0.5774
    0.8127    0.0782    0.5774
   -0.3386   -0.7430    0.5774


S =

   -1.0000   20.7846  -44.6948
         0    1.0000   -0.6096
         0    0.0000    1.0000

矩阵 A 为亏损矩阵,因为它不具备一组完整的线性无关特征向量(V 的第二列和第三列相同)。由于 V 的列并非全部是线性无关的,因此它有一个很大的条件数,大约为 1e8。但 schur 可以计算 U 中的三个不同基向量。由于 U 是正交矩阵,因此 cond(U) = 1

矩阵 S 的实数特征值作为对角线上的第一个条目,并通过右下方的 2×2 块表示重复的特征值。2×2 块的特征值也是 A 的特征值:

eig(S(2:3,2:3))
ans =

   1.0000 + 0.0000i
   1.0000 - 0.0000i

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