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ellipke

第一类和第二类完全椭圆积分

语法

K = ellipke(M)

[K,E] = ellipke(M)

[K,E] = ellipke(M,tol)

说明

K = ellipke(M) 为 M 中的每个元素返回第一类完全椭圆积分。

[K,E] = ellipke(M) 返回第一类和第二类完全椭圆积分。

[K,E] = ellipke(M,tol) 以精度 tol 计算完全椭圆积分。tol 的默认值是 eps。增加 tol 会降低精度，但计算答案的速度会更快。

示例

计算第一类和第二类完全椭圆积分

打开实时脚本

计算 M = 0.5 的第一类和第二类完全椭圆积分。

M = 0.5;
[K,E] = ellipke(M)

K = 1.8541

E = 1.3506

绘制第一类和第二类完全椭圆积分

打开实时脚本

基于 M 的允许范围绘制第一类和第二类完全椭圆积分。

M = 0:0.01:1;
[K,E] = ellipke(M);
plot(M,K,M,E)
grid on
xlabel('M')
title('Complete Elliptic Integrals of First and Second Kind')
legend('First kind','Second kind')

通过更改容差更快地计算完全椭圆积分

打开实时脚本

tol 的默认值是 eps。使用 tic 和 toc 求任意 M 为默认值时的运行时间。按因子 1000 增加 tol 并计算运行时间。比较运行时间。

tic
ellipke(0.904561)

ans = 2.6001

toc

Elapsed time is 0.020629 seconds.

tic
ellipke(0.904561,eps*1000)

ans = 2.6001

toc

Elapsed time is 0.009460 seconds.

容差明显增加时，ellipke 的运行速度明显加快。

输入参数

`M` — 输入数组
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

输入数组，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。M 仅限于值 0≤m≤1。

数据类型: single | double

`tol` — 结果的精度
`eps` (默认) | 非负实数

结果的精度，指定为非负实数。默认值为 eps。

数据类型: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64

输出参量

`K` — 第一类完全椭圆积分
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

第一类完全椭圆积分，以标量、向量、矩阵或多维数组形式返回。

`E` — 第二类完全椭圆积分
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

第二类完全椭圆积分，以标量、向量、矩阵或多维数组形式返回。

详细信息

第一类和第二类完全椭圆积分

第一类完全椭圆积分是

$[K (m)] = \int_{0}^{1} {[(1 - t^{2}) (1 - m t^{2})]}^{- \frac{1}{2}} d t .$

其中，m 是 ellipke 的第一个参量。

第二类完全椭圆积分是

$E (m) = \int_{0}^{1} (1 - t^{2})^{- \frac{1}{2}} {(1 - m t^{2})}^{\frac{1}{2}} d t .$

有些椭圆函数的定义使用椭圆模数 k 或模角 α，而不使用参数 m。它们的关系如下

$k^{2} = m = \sin^{2} α .$

参考

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1965.

扩展功能

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅